Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038939

В трапеции $ABCD$ основания — $BC$ и $AD$, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Углы $ABC=60^{\circ}$ и $BCD=150^{\circ}$ прилежат к меньшему основанию $BC$, а известна боковая сторона $CD=33$. Связать её с искомой $AB$ помогает высота трапеции: она одна и та же для обеих боковых сторон.

Вспомогательное построение. Опустим на прямую $AD$ высоты: $BH$ из вершины $B$ и $CK$ из вершины $C$. Каждая равна высоте трапеции $h$.

Шаг 1. Углы при большем основании. Так как $BC\parallel AD$, углы при каждой боковой стороне односторонние и дают в сумме $180^{\circ}$:

$\angle BAD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$, $\angle ADC=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$.

Шаг 2. Высота через известную сторону. В прямоугольном треугольнике $CKD$ гипотенуза $CD=33$, угол при вершине $D$ равен $30^{\circ}$, поэтому

$h=CK=33\cdot\sin 30^{\circ}=33\cdot\dfrac{1}{2}=16,5$.

Шаг 3. Высота через искомую сторону. Угол $BAD=120^{\circ}$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении $AD$ за точку $A$, и в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при $A$ равен $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$. Тогда

$h=BH=AB\cdot\sin 60^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 4. Приравниваем и решаем.

$AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=16,5$, откуда $AB=\dfrac{33}{\sqrt{3}}=\dfrac{33\sqrt{3}}{3}=11\sqrt{3}\approx 19,05$.

Проверка на здравый смысл: $11\sqrt{3}\approx 19{,}05$ меньше 33 — так и должно быть, ведь угол при $AB$ круче, а высота у трапеции общая.