Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038937

В трапеции $ABCD$ основания $BC=18$ и $AD=36$, боковые стороны $AB$ и $CD$. Отрезок $EF$ параллелен основаниям, поэтому его длина обязана оказаться между 18 и 36, а точное значение задаёт положение точки $F$: $CF:DF=7:2$, то есть $F$ ближе к $D$.

Вспомогательное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $N$, а основание $AD$ — в точке $M$. Тогда $ABCM$ и $EBCN$ — параллелограммы: у них противоположные стороны попарно параллельны.

Шаг 1. Отрезаем равные куски. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AM=BC=18$ и $EN=BC=18$. Значит, на большем основании остаётся кусок

$MD=AD-AM=36-18=18$,

а искомый отрезок распадается на две части: $EF=EN+NF=18+NF$.

Шаг 2. Подобие. В треугольнике $CMD$ отрезок $NF$ параллелен стороне $MD$ (и то и другое параллельно основаниям трапеции). Треугольники $CNF$ и $CMD$ подобны по двум углам: угол $C$ общий, а углы $CNF$ и $CMD$ равны как соответственные при параллельных прямых. Коэффициент подобия равен $\dfrac{CF}{CD}$.

Шаг 3. Считаем коэффициент. Из $CF:DF=7:2$ следует, что сторона $CD$ состоит из $7+2=9$ равных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{7}{9}$.

Шаг 4. Собираем ответ.

$NF=MD\cdot\dfrac{CF}{CD}=18\cdot\dfrac{7}{9}=14$, значит $EF=18+14=32$.

Проверка: 32 действительно лежит между 18 и 36 и ближе к большему основанию — как и должно быть при таком делении боковой стороны.