Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038936

В трапеции $ABCD$ основания — $BC$ и $AD$, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Данные углы $ABC=30^{\circ}$ и $BCD=135^{\circ}$ прилежат к меньшему основанию $BC$. Общая величина, которая свяжет известную сторону $CD=29$ с искомой $AB$, — это высота трапеции.

Вспомогательное построение. Опустим на прямую $AD$ высоты $BH$ (из вершины $B$) и $CK$ (из вершины $C$). Обе равны высоте трапеции $h$.

Шаг 1. Углы при основании $AD$. Основания параллельны, поэтому углы при боковой стороне — односторонние, их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$, $\angle ADC=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$.

Шаг 2. Высота через сторону $CD$. В прямоугольном треугольнике $CKD$ угол $CDK=45^{\circ}$, гипотенуза $CD=29$, поэтому

$h=CK=29\cdot\sin 45^{\circ}=29\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{29\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3. Высота через сторону $AB$. Угол $BAD=150^{\circ}$ тупой, поэтому основание высоты $H$ попадает на продолжение $AD$ за точку $A$, и в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при вершине $A$ равен $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$. Значит,

$h=BH=AB\cdot\sin 30^{\circ}=AB\cdot\dfrac{1}{2}$.

Шаг 4. Приравниваем. Высота одна и та же:

$\dfrac{AB}{2}=\dfrac{29\sqrt{2}}{2}$, откуда $AB=29\sqrt{2}\approx 41,01$.

Приём стандартный: если в трапеции даны углы при основании и одна боковая сторона, высота работает переводчиком между сторонами.