Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038935

В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$, а $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность, она пересекает катеты $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$. Задача: связать хорду $PK$ с диаметром $BH$.

Шаг 1. Углы, опирающиеся на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, поэтому

$\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Что это означает для четырёхугольника $BPHK$. Угол $BPH$ прямой — значит, $HP\perp AB$. Угол $BKH$ прямой — значит, $HK\perp BC$. А угол $PBK$ — это угол $ABC$, он прямой по условию. Получается четырёхугольник $BPHK$, у которого три угла прямые.

Шаг 3. $BPHK$ — прямоугольник. Если у четырёхугольника три угла по $90^{\circ}$, то и четвёртый равен $360^{\circ}-3\cdot 90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть это прямоугольник.

Шаг 4. Диагонали прямоугольника равны. В прямоугольнике $BPHK$ отрезки $BH$ и $PK$ — диагонали, а диагонали прямоугольника равны между собой. Поэтому

$BH=PK=11$.

Красота задачи в том, что никакие длины катетов не нужны: ответ равен данной хорде при любом прямоугольном треугольнике.