Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038934

В трапеции $ABCD$ основания — это $BC$ и $AD$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (в задаче спрашивают боковую сторону $AB$). Данные углы $ABC=60^{\circ}$ и $BCD=135^{\circ}$ прилежат к меньшему основанию $BC$. Ключ к решению — высота трапеции: её можно выразить и через сторону $CD$, и через сторону $AB$, а потом приравнять.

Вспомогательное построение. Опустим на прямую $AD$ две высоты: $BH$ из вершины $B$ и $CK$ из вершины $C$. Обе они равны высоте трапеции $h$.

Шаг 1. Углы при основании $AD$. Так как $BC\parallel AD$, углы при боковой стороне — односторонние и в сумме дают $180^{\circ}$. Поэтому

$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$, $\angle ADC=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$.

Шаг 2. Высота через сторону $CD$. Треугольник $CKD$ прямоугольный, в нём $\angle CDK=45^{\circ}$ и гипотенуза $CD=24$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому

$h=CK=CD\cdot\sin 45^{\circ}=24\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}$.

Шаг 3. Высота через сторону $AB$. Угол $BAD=120^{\circ}$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении $AD$ за точку $A$, и в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при вершине $A$ равен $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$. Тогда

$h=BH=AB\cdot\sin 60^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 4. Приравниваем и находим $AB$. Высота у трапеции одна:

$AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{2}$, откуда $AB=\dfrac{24\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{24\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{6}\approx 19,6$.

Смысл приёма: обе боковые стороны «упираются» в одну и ту же высоту, поэтому её достаточно записать двумя способами и приравнять.