Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038933

Дан отрезок $AK=7$ на стороне $AB$ и сказано, во сколько раз сторона $AC$ больше стороны $BC$. Мостик между этими данными и отрезком $KP$ — окружность, на которой лежат сразу четыре точки: $B$, $K$, $P$, $C$.

Шаг 1. Свойство вписанного четырёхугольника. Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность, поэтому его противоположные углы дают в сумме $180^{\circ}$: $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Так как угол $AKP$ смежный с углом $BKP$, получаем

$\angle AKP=180^{\circ}-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB$.

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle AKP=\angle ACB$. По первому признаку подобия (по двум углам) $\triangle AKP\sim\triangle ACB$, причём вершине $K$ соответствует вершина $C$, а вершине $P$ — вершина $B$. Значит,

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{KP}{CB}$.

Шаг 3. Нужная пропорция. Из этой цепочки берём равенство, где есть известное $AK$:

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AK}{AC}$, откуда $KP=AK\cdot\dfrac{CB}{AC}$.

Шаг 4. Числа. По условию $AC=1,4\cdot BC$, значит, $\dfrac{CB}{AC}=\dfrac{1}{1,4}$, и

$KP=7\cdot\dfrac{1}{1,4}=\dfrac{7}{1,4}=5$.

Как видишь, отдельные длины сторон не нужны: в пропорцию входит только их отношение.