Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038932

Центр окружности лежит на стороне $AC$, поэтому прямая $AC$ проходит через центр и пересекает окружность в двух точках: в вершине $C$ и ещё в одной точке, обозначим её $M$. Отрезок $MC$ — это диаметр, его и надо найти.

Вспомогательное построение. Точка $M$ лежит между $A$ и $C$ (вершина $A$ находится вне окружности, ведь из неё проведена касательная). Тогда диаметр равен $MC=AC-AM$, и вся задача сводится к поиску отрезка $AM$.

Шаг 1. Касательная и секущая. Из точки $A$ проведены касательная $AB$ (точка касания $B$) и секущая, проходящая через $M$ и $C$. По теореме о касательной и секущей квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AB^{2}=AM\cdot AC$.

Шаг 2. Подставляем числа. По условию $AB=9$, $AC=12$:

$9^{2}=AM\cdot 12$, то есть $81=12\cdot AM$, откуда $AM=\dfrac{81}{12}=6,75$.

Шаг 3. Находим диаметр.

$MC=AC-AM=12-6,75=5,25$.

Проверим себя: радиус равен $5,25:2=2,625$, расстояние от $A$ до центра равно $6,75+2,625=9,375$, и в прямоугольном треугольнике (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) должно выполняться $9^{2}+2,625^{2}=9,375^{2}$, то есть $81+6,890625=87,890625$ — верно.