Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038931

Здесь известен отрезок $AK=16$ на стороне $AB$ и отношение сторон $AC$ и $BC$. Связать это с отрезком $KP$ помогает то, что четыре точки $B$, $K$, $P$, $C$ лежат на одной окружности.

Шаг 1. Вписанный четырёхугольник даёт равные углы. В четырёхугольнике $BKPC$, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$: $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Угол $AKP$ смежный с $\angle BKP$, поэтому

$\angle AKP=180^{\circ}-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB$.

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий, $\angle AKP=\angle ACB$ — подобие по двум углам, причём вершины соответствуют так: $A\leftrightarrow A$, $K\leftrightarrow C$, $P\leftrightarrow B$. Отсюда

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{KP}{CB}$.

Шаг 3. Берём нужную пару. Известны $AK=16$ и отношение $AC$ к $BC$, значит, удобно равенство

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AK}{AC}$, то есть $KP=CB\cdot\dfrac{AK}{AC}=AK\cdot\dfrac{CB}{AC}$.

Шаг 4. Подставляем числа. «Сторона $AC$ в 1,6 раза больше стороны $BC$» означает $AC=1,6\cdot BC$, то есть $\dfrac{CB}{AC}=\dfrac{1}{1,6}$. Тогда

$KP=16\cdot\dfrac{1}{1,6}=\dfrac{16}{1,6}=10$.

Сами длины сторон нам не нужны — в пропорцию входит только их отношение.