Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038930

Главное в условии: точки $B$, $K$, $P$, $C$ лежат на одной окружности. Значит, $BKPC$ — вписанный четырёхугольник, а из этого сразу вырастает подобие треугольников.

Шаг 1. Равные углы. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$: $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Угол $AKP$ смежный с углом $BKP$, поэтому

$\angle AKP=180^{\circ}-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB$.

Шаг 2. Подобие. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий и $\angle AKP=\angle ACB$, значит, они подобны по двум углам. Соответствие вершин такое: $A\leftrightarrow A$, $K\leftrightarrow C$, $P\leftrightarrow B$, поэтому

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{KP}{CB}$.

Шаг 3. Выбираем нужную пропорцию. Известно $AP=36$ и отношение $BC$ к $AB$, поэтому берём

$KP=CB\cdot\dfrac{AP}{AB}$.

Шаг 4. Подставляем числа. «Сторона $BC$ в 1,8 раза меньше стороны $AB$» означает $BC=\dfrac{AB}{1,8}$. Тогда

$KP=\dfrac{AB}{1,8}\cdot\dfrac{36}{AB}=\dfrac{36}{1,8}=20$.

Длины $AB$ и $BC$ по отдельности не понадобились — они сократились, работает только их отношение.