Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038929

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — боковая сторона. Углы $A$ и $B$ — это как раз углы при этой боковой стороне, то есть односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$.

Шаг 1. Сумма углов при боковой стороне. Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают $180^{\circ}$:

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Что делают биссектрисы. Биссектриса делит угол пополам, поэтому в треугольнике $ABF$ при вершине $A$ лежит угол $\dfrac{\angle A}{2}$, а при вершине $B$ — угол $\dfrac{\angle B}{2}$. Их сумма равна

$\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle B}{2}=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Находим третий угол. Сумма углов треугольника $ABF$ равна $180^{\circ}$, поэтому

$\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.

То есть биссектрисы углов при боковой стороне трапеции всегда пересекаются под прямым углом — это полезный факт, который стоит запомнить.

Шаг 4. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике $AFB$ катеты $AF=12$ и $BF=9$, а $AB$ — гипотенуза:

$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$.