Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00038928

Обе хорды лежат в одной окружности, и связывает их только радиус. Про хорду $AB$ известно и то, и другое: длина $AB=18$ и расстояние до центра, равное 12. С неё и начнём.

Вспомогательное построение. Обозначим центр окружности $O$ и опустим из него перпендикуляры на хорды: $OM\perp AB$, $ON\perp CD$. По условию $OM=12$, $ON=9$. Проведём радиусы $OA$ и $OC$.

Шаг 1. Половинки хорд. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Поэтому $AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{18}{2}=9$.

Шаг 2. Находим радиус. Треугольник $OMA$ прямоугольный (угол при $M$ прямой), катеты $OM=12$ и $AM=9$, гипотенуза $OA=R$. По теореме Пифагора

$R^{2}=12^{2}+9^{2}=144+81=225$, значит $R=15$.

Шаг 3. Работаем со второй хордой. Треугольник $ONC$ тоже прямоугольный: катет $ON=9$, гипотенуза $OC=R=15$. Тогда

$NC=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$.

Шаг 4. Вся хорда. Точка $N$ — середина $CD$, поэтому $CD=2\cdot NC=2\cdot 12=24$.

Логика задачи простая: по первой хорде вычислили радиус, а радиусом «померили» вторую.