ID: 00038927
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ основания — это $BC=21$ и $AD=35$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Отрезок $EF$ параллелен основаниям, значит, он «промежуточный» между ними: чем ближе он к $BC$, тем короче, чем ближе к $AD$ — тем длиннее. Точное положение задаёт отношение $CF:DF=5:2$.
Вспомогательное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $N$, а основание $AD$ — в точке $M$. Тогда $ABCM$ и $EBCN$ — параллелограммы (у них противоположные стороны попарно параллельны), поэтому $AM=BC=21$ и $EN=BC=21$.
Шаг 1. Отрезаем «параллелограммную» часть. Так как $ABCM$ — параллелограмм, $AM=BC=21$, и тогда $MD=AD-AM=35-21=14$. Аналогично $EN=BC=21$, значит, искомый отрезок распадается на две части: $EF=EN+NF=21+NF$.
Шаг 2. Подобные треугольники. В треугольнике $CMD$ отрезок $NF$ параллелен стороне $MD$ (обе параллельны основаниям трапеции). Значит, треугольник $CNF$ подобен треугольнику $CMD$ по двум углам (угол $C$ общий, а углы $CNF$ и $CMD$ равны как соответственные при параллельных прямых). Коэффициент подобия — это отношение $\dfrac{CF}{CD}$.
Шаг 3. Считаем коэффициент. По условию $CF:DF=5:2$, поэтому вся сторона делится на $5+2=7$ равных частей, и $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{5}{7}$.
Шаг 4. Находим $NF$ и весь отрезок. Из подобия $NF=MD\cdot\dfrac{CF}{CD}=14\cdot\dfrac{5}{7}=10$. Тогда
$EF=EN+NF=21+10=31$.
Проверка здравым смыслом: $31$ лежит между $21$ и $35$ и ближе к большему основанию — так и должно быть, ведь точка $F$ отстоит от $D$ всего на две седьмых стороны.