Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038926

Четыре точки $B$, $K$, $P$, $C$ лежат на одной окружности — это ключ ко всей задаче. Из вписанного четырёхугольника вырастает подобие двух треугольников, и через него отрезок $KP$ связывается со стороной $BC$.

Шаг 1. Ищем равные углы. Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность, значит, его противоположные углы в сумме дают $180^{\circ}$: $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Угол $AKP$ смежный с углом $BKP$, поэтому $\angle AKP=180^{\circ}-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB$.

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle AKP=\angle ACB$ (шаг 1). По первому признаку подобия (два угла) $\triangle AKP\sim\triangle ACB$. Важно следить за порядком вершин: $A\leftrightarrow A$, $K\leftrightarrow C$, $P\leftrightarrow B$. Значит, соответственные стороны такие:

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{KP}{CB}$.

Шаг 3. Пользуемся нужной парой отношений. Нам известны $AP=21$ и связь $BC$ с $AB$, поэтому берём равенство

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}$, откуда $KP=\dfrac{CB\cdot AP}{AB}$.

Шаг 4. Подставляем числа. Сторона $BC$ в 1,5 раза меньше стороны $AB$, то есть $BC=\dfrac{AB}{1,5}$. Тогда

$KP=\dfrac{AP}{AB}\cdot\dfrac{AB}{1,5}=\dfrac{AP}{1,5}=\dfrac{21}{1,5}=14$.

Обрати внимание: сами длины $AB$ и $BC$ по отдельности не нужны — они сокращаются, работает только их отношение.