Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038925

Пусть дан ромб $ABCD$, его диагонали пересекаются в точке $O$. Вспомним два ключевых свойства ромба: диагонали точкой пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом, а точка $O$ равноудалена от всех четырёх сторон (она центр вписанной окружности).

Вспомогательное построение. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону, например на $CD$: по условию $OH=15$. Рассмотрим треугольник $OCD$ — он прямоугольный с прямым углом при вершине $O$, его катеты — половины диагоналей, а $OH$ — высота, проведённая к гипотенузе $CD$.

Шаг 1. Что даёт диагональ 60. Пусть диагональ длиной 60 — это $AC$. Тогда $OC=\dfrac{60}{2}=30$. Вторую половину диагонали обозначим $OD=x$.

Шаг 2. Выражаем высоту прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике $OCD$ гипотенуза равна $CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{900+x^{2}}$ (теорема Пифагора), а высоту к гипотенузе удобно найти через площадь: площадь треугольника равна и половине произведения катетов, и половине произведения гипотенузы на высоту, поэтому

$OH=\dfrac{OC\cdot OD}{CD}=\dfrac{30x}{\sqrt{900+x^{2}}}=15$.

Шаг 3. Решаем уравнение. Сократим на 15: $\dfrac{2x}{\sqrt{900+x^{2}}}=1$, значит $2x=\sqrt{900+x^{2}}$. Возведём в квадрат: $4x^{2}=900+x^{2}$, откуда $3x^{2}=900$, $x^{2}=300$ и $x=10\sqrt{3}$.

Шаг 4. Находим углы. В прямоугольном треугольнике $OCD$ тангенс угла $OCD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\operatorname{tg}\angle OCD=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{10\sqrt{3}}{30}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, значит $\angle OCD=30^{\circ}$.

Но диагональ ромба — биссектриса его угла, поэтому угол ромба при вершине $C$ вдвое больше: $\angle BCD=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$. Соседний угол ромба дополняет его до $180^{\circ}$ (стороны ромба попарно параллельны): $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Итого у ромба два угла по $60^{\circ}$ и два по $120^{\circ}$.