Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038924

Разберёмся с картинкой. Центр окружности лежит на стороне $AC$, сама окружность проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Значит, прямая $AC$ проходит через центр, то есть содержит диаметр: она пересекает окружность в двух точках — в $C$ и ещё в одной точке, назовём её $M$. Отрезок $MC$ и есть диаметр.

Вспомогательное построение. Отметим на отрезке $AC$ вторую точку пересечения окружности с прямой $AC$ — точку $M$ (она лежит между $A$ и $C$, потому что точка $A$ вне окружности). Тогда искомый диаметр $d=MC=AC-AM$, и всё сводится к тому, чтобы найти $AM$.

Шаг 1. Касательная и секущая из одной точки. Из точки $A$ проведены касательная $AB$ (она касается окружности в точке $B$) и секущая, идущая через точки $M$ и $C$. Работает теорема о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AB^{2}=AM\cdot AC$.

Шаг 2. Подставляем числа. По условию $AB=3$, $AC=9$, поэтому

$3^{2}=AM\cdot 9$, то есть $9=9\cdot AM$, откуда $AM=1$.

Шаг 3. Находим диаметр. Диаметр — это отрезок $MC$ на прямой $AC$:

$MC=AC-AM=9-1=8$.

Полезная проверка: радиус тогда равен 4, расстояние от $A$ до центра равно $1+4=5$, и в прямоугольном треугольнике $AOB$ (угол $B$ прямой, так как радиус в точку касания перпендикулярен касательной) получаем $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ — всё сходится.