Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00038923

В задаче речь идёт об одной и той же окружности, в которой проведены две хорды. Про первую хорду мы знаем всё: её длину $AB=24$ и расстояние от центра до неё, равное 16. Значит, по первой хорде можно вычислить радиус, а потом с этим радиусом «раскрутить» вторую хорду.

Вспомогательное построение. Обозначим центр окружности буквой $O$ и опустим из него перпендикуляры $OM\perp AB$ и $ON\perp CD$. Длины этих перпендикуляров и есть расстояния от центра до хорд: $OM=16$, $ON=12$. Соединим центр с концами хорд: $OA=OB=OC=OD=R$ как радиусы.

Шаг 1. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Это теорема о диаметре (радиусе), перпендикулярном хорде: он делит хорду и стягиваемую ею дугу пополам. Поэтому $AM=MB=\dfrac{24}{2}=12$.

Шаг 2. Находим радиус. Треугольник $OMA$ прямоугольный ($\angle OMA=90^{\circ}$), в нём катеты $OM=16$ и $AM=12$, а гипотенуза — радиус $OA=R$. По теореме Пифагора

$R^{2}=OM^{2}+AM^{2}=16^{2}+12^{2}=256+144=400$, значит $R=20$.

Шаг 3. Возвращаемся ко второй хорде. Треугольник $ONC$ тоже прямоугольный: $ON=12$ — катет, $OC=R=20$ — гипотенуза. Тогда второй катет

$NC=\sqrt{OC^{2}-ON^{2}}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$.

Шаг 4. Собираем всю хорду. Точка $N$ делит $CD$ пополам (тот же признак, что и в шаге 1), поэтому $CD=2\cdot NC=2\cdot 16=32$.

Заметь логику всей задачи: радиус — это «мостик» между двумя хордами, других общих данных у них нет.