Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038922

Что дано. Центр окружности — точка $O$ — лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$; окружность проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Известно $AB=2$ и $AC=8$. Найти диаметр окружности.

Шаг 1. Вводим неизвестную. Пусть радиус равен $r$. Тогда $OB=r$ (радиус в точку касания) и $OC=r$ (окружность проходит через $C$). Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$,

$AO=AC-OC=8-r$.

Шаг 2. Используем касание. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB\perp AB$ и треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$: катеты $AB=2$ и $OB=r$, гипотенуза $AO=8-r$.

Шаг 3. Теорема Пифагора даёт уравнение.

$(8-r)^{2}=2^{2}+r^{2}$.

Раскроем скобки: $64-16r+r^{2}=4+r^{2}$. Слагаемые $r^{2}$ сокращаются:

$64-16r=4$, значит $16r=60$ и $r=3,75$.

Шаг 4. Переходим к диаметру. $d=2r=2\cdot 3,75=7,5$.

Проверим: $AO=8-3,75=4,25$, и действительно $2^{2}+3,75^{2}=4+14,0625=18,0625=4,25^{2}$ — равенство выполняется.