Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038921

Что построено. В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$; $BH$ — высота, проведённая из этой вершины на гипотенузу $AC$, и $BH=14$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность, пересекающая катет $AB$ в точке $P$ и катет $CB$ в точке $K$. Найти $PK$.

Шаг 1. Прямые углы. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$, поэтому $\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$. У него прямые углы при вершинах $P$ и $K$, а также при вершине $B$ (это прямой угол исходного треугольника, между катетами $AB$ и $CB$). Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$, четвёртый угол тоже прямой, и $BPHK$ — прямоугольник.

Шаг 3. Диагонали прямоугольника равны. Отрезки $BH$ и $PK$ — это диагонали $BPHK$, поэтому

$PK=BH=14$.

Здесь искомой оказалась «вторая» диагональ, но рассуждение то же самое: длина $PK$ полностью определяется высотой $BH$.