Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038920

Что дано. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, $AB$ — боковая сторона. Биссектрисы углов $A$ и $B$, то есть углов при этой боковой стороне, пересекаются в точке $F$; известно $AF=24$ и $BF=10$.

Шаг 1. Сумма углов при боковой стороне. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $DAB$ и $ABC$ — односторонние, поэтому

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Половины углов. Биссектрисы делят углы пополам, значит $\angle FAB=\dfrac{\angle A}{2}$ и $\angle FBA=\dfrac{\angle B}{2}$, а их сумма равна

$\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Прямой угол. В треугольнике $ABF$ сумма всех углов $180^{\circ}$, поэтому $\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Треугольник прямоугольный, $AB$ — гипотенуза, $AF$ и $BF$ — катеты.

Шаг 4. Теорема Пифагора.

$AB=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$.

Здесь сработала знакомая тройка: $10$, $24$, $26$ — это удвоенная тройка $5$, $12$, $13$.