Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038919

Чертёж. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Углы при основании $BC$: $\angle ABC=45^{\circ}$ и $\angle BCD=150^{\circ}$; известно $CD=26$.

Идея. Высота трапеции — расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$ — не зависит от того, у какой боковой стороны её измерять. Запишем её двумя способами и приравняем.

Шаг 1. Высота через $AB$. Опустим перпендикуляр $AP$ из вершины $A$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $B$ равен $45^{\circ}$, поэтому

$h=AB\cdot\sin 45^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 2. Высота через $CD$. Опустим перпендикуляр $DQ$ из вершины $D$ на ту же прямую. Угол $BCD=150^{\circ}$ тупой, поэтому точка $Q$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, а в прямоугольном треугольнике $DCQ$ работает смежный угол $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$:

$h=CD\cdot\sin 30^{\circ}=26\cdot\dfrac{1}{2}=13$.

Шаг 3. Решаем уравнение. $AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=13$, откуда

$AB=\dfrac{26}{\sqrt2}=\dfrac{26\sqrt2}{2}=13\sqrt2\approx 18,38$.