Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038918

Условие. В трапеции $ABCD$ основания $BC=16$ и $AD=48$. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$, причём $CF:DF=5:3$. Найти $EF$.

Вспомогательное построение. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $P$, а основание $AD$ — в точке $H$.

Шаг 1. Ищем параллелограммы. В четырёхугольнике $BCDH$ стороны $BC$ и $HD$ параллельны (лежат на основаниях трапеции), а $BH\parallel CD$ по построению — значит, это параллелограмм. Отсюда $HD=BC=16$ и $BH=CD$, а

$AH=AD-HD=48-16=32$.

Четырёхугольник $BCFP$ — тоже параллелограмм, поэтому $PF=BC=16$ и $BP=CF$.

Шаг 2. Отношение на отрезке $BH$. Так как $BP=CF$ и $BH=CD$,

$\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{5}{5+3}=\dfrac{5}{8}$.

Шаг 3. Подобие треугольников. В треугольнике $ABH$ отрезок $EP$ параллелен стороне $AH$ (обе прямые параллельны основаниям трапеции), поэтому треугольники $BEP$ и $BAH$ подобны по двум углам. Значит,

$EP=AH\cdot\dfrac{BP}{BH}=32\cdot\dfrac{5}{8}=20$.

Шаг 4. Итог. $EF=EP+PF=20+16=36$.

Проверка: $36$ лежит между длинами оснований $16$ и $48$ — это верный признак того, что ответ правдоподобен.