Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038917

Что построено. В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$, а $BH$ — высота, опущенная из этой вершины на гипотенузу $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет $AB$ в точке $P$ и катет $CB$ в точке $K$. Дано $PK=15$, найти $BH$.

Шаг 1. Где взять прямые углы. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$. Поэтому $\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$, то есть $HP\perp AB$ и $HK\perp CB$.

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$ — прямоугольник. Углы при вершинах $P$ и $K$ прямые по доказанному, угол при вершине $B$ прямой по условию (он образован катетами). Три прямых угла у четырёхугольника означают, что и четвёртый прямой (сумма углов равна $360^{\circ}$), значит $BPHK$ — прямоугольник.

Шаг 3. Равенство диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $BPHK$ являются как раз отрезки $BH$ и $PK$, поэтому

$BH=PK=15$.

Данные о катетах треугольника в решении не нужны — задача целиком держится на свойстве диаметра и прямоугольнике.