Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038916

Обозначения. Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. Расстояние от $O$ до одной из сторон равно $18$, а одна из диагоналей равна $72$. Пусть это диагональ $AC=72$; так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, $AO=\dfrac{72}{2}=36$.

Шаг 1. Строим перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому опустим из $O$ перпендикуляр $OE$ на сторону $AB$: $OE=18$, угол $OEA$ прямой.

Шаг 2. Прямоугольный треугольник $AOE$. Гипотенуза $AO=36$, катет $OE=18$ противолежит углу $OAE$:

$\sin\angle OAE=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$, значит $\angle OAE=30^{\circ}$.

Шаг 3. Угол ромба. Диагональ ромба — биссектриса его угла, поэтому $\angle A=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$.

Шаг 4. Второй угол. У параллелограмма (а ромб — частный случай параллелограмма) соседние углы в сумме равны $180^{\circ}$: $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Значит, углы ромба равны $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.