Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038915

Разбираем конструкцию. Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Из $B$ проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность; она пересекает катет $AB$ в точке $P$, а катет $CB$ — в точке $K$. Дано $PK=12$.

Шаг 1. Прямые углы из свойства диаметра. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, поэтому

• $\angle BPH=90^{\circ}$;
• $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$. В нём прямые углы при вершинах $P$ и $K$, а угол при вершине $B$ прямой по условию задачи (это угол между катетами $AB$ и $CB$). Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$, поэтому и четвёртый угол — при вершине $H$ — прямой. Значит, $BPHK$ — прямоугольник.

Шаг 3. Диагонали. Отрезки $BH$ и $PK$ — диагонали этого прямоугольника, а диагонали прямоугольника равны. Следовательно,

$BH=PK=12$.

Обрати внимание: ни длины катетов, ни положение точки $H$ на гипотенузе для ответа не понадобились.