Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038914

Обозначения. Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По условию расстояние от $O$ до одной из сторон равно $17$, а одна из диагоналей равна $68$. Пусть это диагональ $AC=68$. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=\dfrac{68}{2}=34$.

Шаг 1. Расстояние — это перпендикуляр. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OE$ на сторону $AB$: $OE=17$, угол $OEA$ прямой.

Шаг 2. Прямоугольный треугольник $AOE$. В нём гипотенуза $AO=34$, а катет $OE=17$ лежит против угла $OAE$. Так как катет ровно вдвое меньше гипотенузы,

$\sin\angle OAE=\dfrac{17}{34}=\dfrac{1}{2}$, то есть $\angle OAE=30^{\circ}$.

Шаг 3. От половины угла к целому. Диагональ ромба является биссектрисой его угла (стороны ромба равны, поэтому отсекаемый диагональю треугольник равнобедренный). Значит, $\angle A=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$.

Шаг 4. Соседний угол. Ромб — параллелограмм, а у параллелограмма соседние углы в сумме дают $180^{\circ}$: $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Углы ромба: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.