Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038913

Что дано. Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$. Значит, точки $K$, $B$, $C$, $P$ лежат на одной окружности, то есть $KBCP$ — вписанный четырёхугольник. Известно: $AK=6$, а $AC$ в $1,5$ раза больше $BC$, то есть $AC=1,5\cdot BC$.

Шаг 1. Находим равные углы. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Кроме того, углы $AKP$ и $BKP$ смежные, так как $K$ лежит на отрезке $AB$: $\angle AKP+\angle BKP=180^{\circ}$. Сравнивая, получаем

$\angle AKP=\angle BCP=\angle BCA$

(точка $P$ лежит на стороне $AC$, поэтому луч $CP$ — это луч $CA$).

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий и $\angle AKP=\angle ACB$, значит они подобны по двум углам. При этом вершине $K$ соответствует вершина $C$, а вершине $P$ — вершина $B$.

Шаг 3. Пропорция сходственных сторон.

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AK}{AC}$.

Шаг 4. Подставляем данные. Так как $AC=1,5\cdot BC$, то

$KP=CB\cdot\dfrac{AK}{AC}=BC\cdot\dfrac{6}{1,5\cdot BC}=\dfrac{6}{1,5}=4$.

Длина $BC$ сократилась — поэтому в условии и достаточно было указать только отношение сторон, а не их значения.