Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038912

Чертёж. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Даны углы при основании $BC$: $\angle ABC=30^{\circ}$, $\angle BCD=135^{\circ}$; сторона $CD=17$.

Идея. Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$; она одна и та же независимо от того, у какой боковой стороны её измерять. Выразим её дважды.

Шаг 1. Через сторону $AB$. Опустим перпендикуляр $AP$ из вершины $A$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $B$ равен $30^{\circ}$, поэтому

$h=AB\cdot\sin 30^{\circ}=AB\cdot\dfrac{1}{2}$.

Шаг 2. Через сторону $CD$. Опустим перпендикуляр $DQ$ из вершины $D$ на прямую $BC$. Угол $BCD=135^{\circ}$ тупой, поэтому точка $Q$ окажется на продолжении $BC$ за точку $C$, а в прямоугольном треугольнике $DCQ$ угол при $C$ равен смежному: $180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$. Значит,

$h=CD\cdot\sin 45^{\circ}=17\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 3. Уравнение. $AB\cdot\dfrac{1}{2}=17\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$, откуда

$AB=17\sqrt2\approx 24,04$.

Результат логичен: угол при стороне $AB$ маленький ($30^{\circ}$), поэтому эта сторона длиннее, чем $CD$.