Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038911

Обозначения. Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. По условию расстояние от $O$ до одной из сторон равно $10$, а одна из диагоналей равна $40$. Пусть это диагональ $AC=40$; диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=\dfrac{40}{2}=20$.

Шаг 1. Строим расстояние. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OE$ на сторону $AB$. Тогда $OE=10$ и угол $OEA$ прямой.

Шаг 2. Прямоугольный треугольник $AOE$. Гипотенуза $AO=20$, катет $OE=10$ лежит против угла $OAE$:

$\sin\angle OAE=\dfrac{OE}{AO}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$, откуда $\angle OAE=30^{\circ}$.

Можно было заметить это и без синуса: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в $30^{\circ}$.

Шаг 3. Полный угол ромба. Диагональ ромба — биссектриса его угла (треугольник, отсекаемый диагональю, равнобедренный, ведь стороны ромба равны). Поэтому $\angle A=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$.

Шаг 4. Соседний угол. Ромб — параллелограмм, соседние углы дают в сумме $180^{\circ}$: $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Итого углы ромба: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$. Если бы данной оказалась другая диагональ, те же рассуждения дали бы тот же набор углов.