ID: 00038910
Источник: ФИПИ
Что дано. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, $AB$ — боковая сторона. Биссектрисы углов $A$ и $B$ (то есть углов при этой боковой стороне) пересекаются в точке $F$, причём $AF=15$ и $BF=8$. Найти $AB$.
Шаг 1. Углы при боковой стороне. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $DAB$ и $ABC$ — односторонние, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.
Шаг 2. Половины углов. Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы, $\angle FAB=\dfrac{\angle A}{2}$, $\angle FBA=\dfrac{\angle B}{2}$, и
$\angle FAB+\angle FBA=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=90^{\circ}$.
Шаг 3. Треугольник $ABF$ прямоугольный. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Значит, $AB$ — гипотенуза, а $AF$ и $BF$ — катеты.
Шаг 4. Теорема Пифагора.
$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$.
Заметь: длины оснований трапеции в решении не участвуют — важно только то, что углы при боковой стороне в сумме дают $180^{\circ}$.