Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038909

Условие. В трапеции $ABCD$ основания $BC=27$ и $AD=45$. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$, причём $CF:DF=5:4$. Найти $EF$.

Вспомогательное построение. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть она пересекает $EF$ в точке $P$, а основание $AD$ — в точке $H$.

Шаг 1. Два параллелограмма. В четырёхугольнике $BCDH$ противоположные стороны параллельны: $BC\parallel HD$ (это основания трапеции) и $BH\parallel CD$ (по построению). Значит, $BCDH$ — параллелограмм, откуда $HD=BC=27$ и $BH=CD$. Тогда

$AH=AD-HD=45-27=18$.

Точно так же $BCFP$ — параллелограмм, поэтому $PF=BC=27$ и $BP=CF$.

Шаг 2. Отношение на отрезке $BH$. Так как $BP=CF$ и $BH=CD$, получаем

$\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{5}{5+4}=\dfrac{5}{9}$.

Шаг 3. Подобие. В треугольнике $ABH$ отрезок $EP\parallel AH$ (обе прямые параллельны основаниям трапеции), поэтому треугольник $BEP$ подобен треугольнику $BAH$ по двум углам: угол при вершине $B$ общий, а углы $BEP$ и $BAH$ равны как соответственные. Значит,

$EP=AH\cdot\dfrac{BP}{BH}=18\cdot\dfrac{5}{9}=10$.

Шаг 4. Складываем. $EF=EP+PF=10+27=37$.

Ответ разумен: $37$ находится между основаниями $27$ и $45$.