Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00038908

Условие. В одной окружности проведены хорды $AB=40$ и $CD=42$. Расстояние от центра до хорды $AB$ равно $21$. Найти расстояние от центра до хорды $CD$.

Что нужно знать. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Поэтому около каждой хорды возникает прямоугольный треугольник: гипотенуза — радиус, катеты — половина хорды и расстояние от центра до хорды.

Шаг 1. Находим радиус. Обозначим центр $O$, опустим перпендикуляр $OM$ на хорду $AB$. Тогда $OM=21$, а $AM=\dfrac{40}{2}=20$. По теореме Пифагора в треугольнике $OMA$:

$R^{2}=21^{2}+20^{2}=441+400=841$, поэтому $R=\sqrt{841}=29$.

Шаг 2. Переходим ко второй хорде. Опустим перпендикуляр $ON$ на хорду $CD$; он делит её пополам, значит $CN=\dfrac{42}{2}=21$. В прямоугольном треугольнике $ONC$ гипотенуза — тот же радиус $R=29$:

$ON^{2}=R^{2}-CN^{2}=841-441=400$, откуда $ON=\sqrt{400}=20$.

Проверка. Хорда $CD=42$ длиннее хорды $AB=40$, поэтому она должна лежать ближе к центру: $20\lt 21$ — согласуется.