Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038906

Что известно. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, боковые стороны $AB$ и $CD$. Углы при основании $BC$ равны $\angle ABC=45^{\circ}$ и $\angle BCD=120^{\circ}$, сторона $CD=40$.

Идея решения. Высота трапеции (расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$) одинакова по всей длине. Выразим её через каждую боковую сторону и приравняем полученные выражения.

Шаг 1. Высота через $AB$. Опустим перпендикуляр $AP$ из вершины $A$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при $B$ равен $45^{\circ}$, катет $AP$ противолежит ему:

$h=AB\cdot\sin 45^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 2. Высота через $CD$. Опустим перпендикуляр $DQ$ из вершины $D$ на прямую $BC$. Угол $BCD=120^{\circ}$ тупой, поэтому $Q$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, а угол в прямоугольном треугольнике $DCQ$ равен смежному: $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$. Тогда

$h=CD\cdot\sin 60^{\circ}=40\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=20\sqrt3$.

Шаг 3. Решаем уравнение. $AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=20\sqrt3$, значит

$AB=\dfrac{40\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{40\sqrt3\cdot\sqrt2}{2}=20\sqrt6\approx 48,99$.