Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038905

Что дано. Центр окружности — точка $O$ — лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$; окружность проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Диаметр равен $16$, значит радиус $R=\dfrac{16}{2}=8$. Известно $AB=15$, найти $AC$.

Шаг 1. Используем касание. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Точка касания — $B$, касательная — прямая $AB$, поэтому $OB\perp AB$ и $OB=R=8$.

Шаг 2. Прямоугольный треугольник $ABO$. Угол при вершине $B$ прямой, катеты $AB=15$ и $OB=8$, гипотенуза — отрезок $AO$. По теореме Пифагора:

$AO=\sqrt{AB^{2}+OB^{2}}=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$.

Шаг 3. Собираем сторону $AC$. Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, а окружность проходит через $C$, поэтому $OC$ — радиус: $OC=8$. Значит,

$AC=AO+OC=17+8=25$.

Проверка: точка $A$ должна лежать вне окружности, ведь из неё проведена касательная. Так и есть: $AO=17>8=R$.