Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038904

Чертёж. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Даны углы при основании $BC$: $\angle ABC=45^{\circ}$ и $\angle BCD=120^{\circ}$, а также $CD=34$.

Идея. Высота трапеции — расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$ — одна и та же, с какой бы стороны её ни измерять. Запишем её двумя способами.

Шаг 1. Высота через $AB$. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AP$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $B$ равен $45^{\circ}$, поэтому

$h=AB\cdot\sin 45^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 2. Высота через $CD$. Опустим перпендикуляр $DQ$ из вершины $D$ на ту же прямую $BC$. Угол $BCD=120^{\circ}$ тупой, значит точка $Q$ попадает на продолжение $BC$ за точку $C$, а в прямоугольном треугольнике $DCQ$ работает смежный угол $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$:

$h=CD\cdot\sin 60^{\circ}=34\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=17\sqrt3$.

Шаг 3. Составляем уравнение. $AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=17\sqrt3$, откуда

$AB=\dfrac{34\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{34\sqrt3\cdot\sqrt2}{2}=17\sqrt6\approx 41,64$.