ID: 00038903
Источник: ФИПИ
Что дано. В трапеции $ABCD$ основания $BC=15$ и $AD=25$. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$, причём $CF:DF=3:2$. Найти $EF$.
Вспомогательное построение. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $P$, а основание $AD$ — в точке $H$.
Шаг 1. Разбираемся с параллелограммами. В четырёхугольнике $BCDH$ стороны $BC$ и $HD$ лежат на параллельных прямых (это основания трапеции), а $BH\parallel CD$ по построению. Значит, $BCDH$ — параллелограмм и $HD=BC=15$. Тогда
$AH=AD-HD=25-15=10$.
Точно так же $BCFP$ — параллелограмм ($BC\parallel PF$ как части параллельных прямых и $BP\parallel CF$), поэтому $PF=BC=15$ и $BP=CF$.
Шаг 2. Находим отношение, в котором $P$ делит $BH$. Так как $BP=CF$ и $BH=CD$ (противоположные стороны параллелограмма $BCDH$), получаем
$\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{3}{3+2}=\dfrac{3}{5}$.
Шаг 3. Подобие треугольников. В треугольнике $ABH$ отрезок $EP$ параллелен стороне $AH$ (обе прямые параллельны основаниям трапеции). Значит, треугольник $BEP$ подобен треугольнику $BAH$ по двум углам (угол $B$ общий, а углы $BEP$ и $BAH$ равны как соответственные при параллельных прямых). Отсюда
$\dfrac{EP}{AH}=\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{3}{5}$, то есть $EP=10\cdot\dfrac{3}{5}=6$.
Шаг 4. Собираем ответ. Точка $P$ лежит между $E$ и $F$, поэтому
$EF=EP+PF=6+15=21$.
Проверка на здравый смысл: $21$ лежит между длинами оснований $15$ и $25$ — так и должно быть для отрезка внутри трапеции.