Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00038902

Что дано. В одной окружности проведены две хорды: $AB=30$ и $CD=40$. Расстояние от центра до хорды $AB$ равно $20$. Найти расстояние от центра до хорды $CD$.

Ключевое свойство. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Значит, каждый раз получается прямоугольный треугольник: гипотенуза — радиус $R$, катеты — половина хорды и расстояние от центра до хорды.

Шаг 1. Находим радиус по первой хорде. Обозначим центр $O$ и опустим перпендикуляр $OM$ на $AB$: $OM=20$, $AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{30}{2}=15$. По теореме Пифагора в треугольнике $OMA$:

$R^{2}=OM^{2}+AM^{2}=20^{2}+15^{2}=400+225=625$, откуда $R=\sqrt{625}=25$.

Шаг 2. Работаем со второй хордой. Опустим перпендикуляр $ON$ на $CD$. Он делит хорду пополам: $CN=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{40}{2}=20$. В прямоугольном треугольнике $ONC$ гипотенуза — тот же радиус $R=25$:

$ON^{2}=R^{2}-CN^{2}=625-400=225$, значит $ON=\sqrt{225}=15$.

Проверка логики. Хорда $CD=40$ длиннее хорды $AB=30$, а чем длиннее хорда, тем ближе она к центру: $15\lt 20$ — всё сходится.