Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038901

Обозначения. Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По условию расстояние от $O$ до одной из сторон равно $13$, а одна из диагоналей равна $52$. Пусть это диагональ $AC=52$; тогда, так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, $AO=\dfrac{52}{2}=26$.

Шаг 1. Строим расстояние. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Опустим из $O$ перпендикуляр $OE$ на сторону $AB$: $OE=13$, угол $OEA$ прямой.

Шаг 2. Работаем в прямоугольном треугольнике $AOE$. В нём гипотенуза $AO=26$, катет $OE=13$, противолежащий углу $OAE$. Значит,

$\sin\angle OAE=\dfrac{OE}{AO}=\dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2}$,

откуда $\angle OAE=30^{\circ}$ (в прямоугольном треугольнике угол острый, поэтому значение определяется однозначно).

Шаг 3. Переходим к углу ромба. Диагональ ромба является биссектрисой его угла: ромб — параллелограмм с равными сторонами, и треугольник $ABD$ (или $ABC$) равнобедренный, поэтому диагональ делит угол пополам. Значит,

$\angle A=2\cdot\angle OAE=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$.

Шаг 4. Второй угол. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, углы $A$ и $B$ ромба — односторонние, поэтому $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Итак, углы ромба равны $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$. Если бы диагональ $52$ оказалась второй (то есть $BD$), рассуждение повторилось бы для угла $B$ и дало бы тот же набор углов.