Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038900

Что дано. Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$. Значит, четыре точки $B$, $K$, $P$, $C$ лежат на одной окружности, то есть $KBCP$ — вписанный четырёхугольник. Известно $AK=14$ и $AC=2\cdot BC$; найти $KP$.

Шаг 1. Ищем равные углы. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. С другой стороны, углы $AKP$ и $BKP$ смежные (точка $K$ лежит на отрезке $AB$), значит $\angle AKP+\angle BKP=180^{\circ}$. Из этих двух равенств получаем

$\angle AKP=\angle BCP=\angle BCA$

(последний переход верен, потому что точка $P$ лежит на стороне $AC$, то есть луч $CP$ совпадает с лучом $CA$).

Шаг 2. Доказываем подобие. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle AKP=\angle ACB$ по доказанному. По признаку подобия «по двум углам» треугольник $AKP$ подобен треугольнику $ACB$, причём вершине $K$ соответствует вершина $C$, а вершине $P$ — вершина $B$.

Шаг 3. Записываем пропорцию. Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны:

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AK}{AC}$.

Шаг 4. Подставляем данные. По условию $AC=2\cdot BC$, поэтому

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{14}{2\cdot BC}=\dfrac{7}{BC}$.

Тогда $KP=CB\cdot\dfrac{7}{BC}=7$.

Сама длина $BC$ сократилась — именно поэтому в условии достаточно было указать не её значение, а только отношение сторон.