Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038898

Разбираемся с картинкой. Треугольник $ABC$ прямоугольный, прямой угол при вершине $B$. Из этой вершины проведена высота $BH$ на гипотенузу $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность; она пересекает катет $AB$ в точке $P$ и катет $CB$ в точке $K$. Дано $PK=13$, найти $BH$.

Шаг 1. Ловим прямые углы. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, такой угол прямой. Значит:

• $\angle BPH=90^{\circ}$, то есть $HP\perp AB$;
• $\angle BKH=90^{\circ}$, то есть $HK\perp CB$.

Шаг 2. Узнаём четырёхугольник $BPHK$. В нём угол при вершине $B$ прямой (это прямой угол треугольника, между катетами $AB$ и $CB$), угол при вершине $P$ прямой и угол при вершине $K$ прямой. Если у четырёхугольника три угла прямые, то и четвёртый прямой (сумма углов четырёхугольника $360^{\circ}$), поэтому $BPHK$ — прямоугольник.

Шаг 3. Сравниваем диагонали. Отрезки $BH$ и $PK$ — это диагонали прямоугольника $BPHK$, а диагонали прямоугольника равны. Следовательно,

$BH=PK=13$.

Обрати внимание: длины катетов треугольника нам вообще не понадобились — ответ определяется только тем, что $BPHK$ прямоугольник.