Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038896

Что известно. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Углы при основании $BC$: $\angle ABC=45^{\circ}$, $\angle BCD=150^{\circ}$; сторона $CD=32$.

План. Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$, и она одна и та же для обеих боковых сторон. Выразим её двумя способами.

Шаг 1. Через сторону $AB$. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AP$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $B$ равен $45^{\circ}$, поэтому

$h=AB\cdot\sin 45^{\circ}=AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 2. Через сторону $CD$. Опустим перпендикуляр $DQ$ из вершины $D$ на ту же прямую. Так как угол $BCD=150^{\circ}$ тупой, точка $Q$ окажется на продолжении $BC$ за точку $C$, а угол $DCQ$ будет смежным: $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$. Значит,

$h=CD\cdot\sin 30^{\circ}=32\cdot\dfrac{1}{2}=16$.

Шаг 3. Уравнение. $AB\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=16$, откуда

$AB=\dfrac{32}{\sqrt2}=\dfrac{32\sqrt2}{2}=16\sqrt2\approx 22,63$.