Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038894

Что дано. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — боковая сторона. Из вершин $A$ и $B$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$; они пересекаются в точке $F$, причём $AF=12$ и $BF=5$. Нужно найти $AB$.

Шаг 1. Сумма углов при боковой стороне. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $A$ и $B$ трапеции при этой секущей — односторонние, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Половинки углов. $AF$ и $BF$ — биссектрисы, значит $\angle FAB=\dfrac{\angle A}{2}$ и $\angle FBA=\dfrac{\angle B}{2}$. Тогда

$\angle FAB+\angle FBA=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Угол при вершине $F$. В треугольнике $ABF$ сумма углов равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Значит, треугольник $ABF$ прямоугольный, а сторона $AB$ — его гипотенуза.

Шаг 4. Теорема Пифагора. Катеты равны $AF=12$ и $BF=5$:

$AB=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.

Заметь: длины оснований трапеции в решении вообще не понадобились — вся конструкция держится на том, что углы при боковой стороне дают в сумме развёрнутый угол.