Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038893

Разбираемся с чертежом. В трапеции $ABCD$ боковые стороны — $AB$ и $CD$, а основания — $BC$ и $AD$, они параллельны. Углы $ABC=30^{\circ}$ и $BCD=120^{\circ}$ — это углы при верхнем основании $BC$.

Идея решения. Обе боковые стороны «упираются» в одну и ту же пару параллельных прямых, поэтому расстояние между прямыми $BC$ и $AD$ (высота трапеции $h$) можно выразить и через $AB$, и через $CD$. Приравняв эти выражения, найдём $AB$.

Шаг 1. Высота через сторону $AB$. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AP$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $B$ равен $\angle ABC=30^{\circ}$, а $AP$ — катет, противолежащий этому углу. Значит,

$h=AP=AB\cdot\sin 30^{\circ}=AB\cdot\dfrac{1}{2}$.

Шаг 2. Высота через сторону $CD$. Опустим из вершины $D$ перпендикуляр $DQ$ на ту же прямую $BC$. Угол $BCD=120^{\circ}$ тупой, поэтому точка $Q$ попадает на продолжение $BC$ за точку $C$, а угол $DCQ$ — смежный с углом $BCD$: $\angle DCQ=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $DCQ$:

$h=DQ=CD\cdot\sin 60^{\circ}=25\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Шаг 3. Приравниваем и решаем. $AB\cdot\dfrac{1}{2}=25\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$, откуда

$AB=25\sqrt3\approx 43,30$.

Результат разумен: угол при $AB$ маленький ($30^{\circ}$), поэтому эта боковая сторона «пологая» и заметно длиннее $CD$.