Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038892

Что даёт равноудалённость. Точка $M$ — середина стороны $AD$, и $MA=MB=MC=MD=R$. Значит, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $M$, а сторона $AD$ содержит центр и делится им пополам, то есть $AD$ — диаметр: $AD=2R$.

Шаг 1. Проводим радиусы $MB$ и $MC$. Получаем равнобедренные треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Пусть $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Разбиваем углы четырёхугольника. $\angle ABM=\angle B-t=129^{\circ}-t$, $\angle DCM=\angle C-t=96^{\circ}-t$. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, $\angle A=\angle ABM$ и $\angle D=\angle DCM$, поэтому

$\angle A+\angle D=(129^{\circ}-t)+(96^{\circ}-t)=225^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Находим $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$, поэтому $\angle A+\angle D=360^{\circ}-129^{\circ}-96^{\circ}=135^{\circ}$. Из $225^{\circ}-2t=135^{\circ}$ получаем $t=45^{\circ}$.

Шаг 4. Угол при центре. $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$: треугольник $BMC$ прямоугольный с катетами $MB=MC=R$ и гипотенузой $BC=8$.

Шаг 5. Считаем радиус. По теореме Пифагора $2R^{2}=8^{2}=64$, значит $R^{2}=32$ и $R=\sqrt{32}=4\sqrt2$.

Шаг 6. Ответ. $AD=2R=8\sqrt2\approx 11,31$.