Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038891

Смысл условия. Середина $M$ стороны $AD$ равноудалена от всех вершин, то есть $MA=MB=MC=MD=R$: все вершины лежат на окружности с центром $M$. Так как центр попал на сторону $AD$ и делит её пополам, $AD$ — диаметр этой окружности: $AD=2R$.

Шаг 1. Вспомогательные отрезки. Проведём $MB$ и $MC$. Треугольники $AMB$, $BMC$, $CMD$ равнобедренные — их боковые стороны равны радиусу. Обозначим $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Углы через $t$. $\angle ABM=\angle B-t=132^{\circ}-t$, $\angle DCM=\angle C-t=93^{\circ}-t$. Из равнобедренности $\angle A=\angle ABM$, $\angle D=\angle DCM$, поэтому $\angle A+\angle D=225^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Уравнение на $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$: $\angle A+\angle D=360^{\circ}-132^{\circ}-93^{\circ}=135^{\circ}$. Значит, $225^{\circ}-2t=135^{\circ}$, откуда $t=45^{\circ}$.

Шаг 4. Треугольник $BMC$. $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$: он прямоугольный, катеты $MB=MC=R$, гипотенуза $BC=18$.

Шаг 5. Теорема Пифагора. $R^{2}+R^{2}=18^{2}$, то есть $2R^{2}=324$, $R^{2}=162$, $R=\sqrt{162}=9\sqrt2$.

Шаг 6. Ответ. $AD=2R=18\sqrt2\approx 25,46$.