Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038890

Ключ к условию. Точка $M$ — середина стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R$. Значит, все вершины лежат на окружности с центром $M$, а сторона $AD$ проходит через центр, то есть является диаметром: $AD=2R$.

Шаг 1. Строим $MB$ и $MC$. Появляются равнобедренные треугольники $AMB$ ($MA=MB$), $BMC$ ($MB=MC$), $CMD$ ($MC=MD$). Введём обозначение: $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Разрезаем углы $B$ и $C$. $\angle ABM=\angle B-t=116^{\circ}-t$ и $\angle DCM=\angle C-t=94^{\circ}-t$. Углы при основании равнобедренных треугольников равны, поэтому $\angle A=\angle ABM$ и $\angle D=\angle DCM$, а значит $\angle A+\angle D=210^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Уравнение. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$: $\angle A+\angle D=360^{\circ}-116^{\circ}-94^{\circ}=150^{\circ}$. Тогда $210^{\circ}-2t=150^{\circ}$, откуда $t=30^{\circ}$.

Шаг 4. Угол при центре. $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 30^{\circ}=120^{\circ}$.

Шаг 5. Связь хорды и радиуса. Проведём в треугольнике $BMC$ высоту из $M$: она же биссектриса и медиана. Тогда $\dfrac{BC}{2}=R\sin 60^{\circ}=\dfrac{R\sqrt3}{2}$, то есть $BC=R\sqrt3$.

Шаг 6. Вычисляем. $9=R\sqrt3$, значит $R=\dfrac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3$, и

$AD=2R=6\sqrt3\approx 10,39$.