Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038889

Читаем условие геометрически. Точка $M$ — середина $AD$ и равноудалена от вершин: $MA=MB=MC=MD=R$. Следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром $M$, а $AD$ — её диаметр, ведь центр лежит на этой стороне: $AD=2R$.

Шаг 1. Проводим радиусы. Отрезки $MB$ и $MC$ дают три равнобедренных треугольника: $AMB$, $BMC$, $CMD$. Пусть $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Части углов $B$ и $C$. $\angle ABM=110^{\circ}-t$, $\angle DCM=100^{\circ}-t$. По свойству равнобедренного треугольника $\angle A=\angle ABM$ и $\angle D=\angle DCM$. Значит, $\angle A+\angle D=(110^{\circ}-t)+(100^{\circ}-t)=210^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Составляем уравнение. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$, поэтому $\angle A+\angle D=360^{\circ}-110^{\circ}-100^{\circ}=150^{\circ}$. Отсюда $210^{\circ}-2t=150^{\circ}$ и $t=30^{\circ}$.

Шаг 4. Центральный угол. В треугольнике $BMC$: $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 30^{\circ}=120^{\circ}$.

Шаг 5. Выражаем хорду через радиус. Высота из вершины $M$ в равнобедренном треугольнике $BMC$ делит угол при вершине и основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$, острым углом $60^{\circ}$ и катетом $\dfrac{BC}{2}$: $\dfrac{BC}{2}=R\sin 60^{\circ}=\dfrac{R\sqrt3}{2}$, то есть $BC=R\sqrt3$.

Шаг 6. Числа. $14=R\sqrt3$, откуда $R=\dfrac{14}{\sqrt3}=\dfrac{14\sqrt3}{3}$, и тогда $AD=2R=\dfrac{28\sqrt3}{3}\approx 16,17$.