Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038888

Первый вывод из условия. Середина $M$ стороны $AD$ равноудалена от всех вершин, то есть $MA=MB=MC=MD=R$. Значит, все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R$, а сторона $AD$, проходящая через центр, — диаметр: $AD=2R$.

Шаг 1. Дополнительное построение. Проведём $MB$ и $MC$. Треугольники $AMB$, $BMC$, $CMD$ равнобедренные (боковые стороны — радиусы). Обозначим $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Разложение углов $B$ и $C$. $\angle ABM=\angle B-t=95^{\circ}-t$, $\angle DCM=\angle C-t=115^{\circ}-t$. Так как в равнобедренных треугольниках $AMB$ и $CMD$ углы при основании равны, $\angle A=\angle ABM$ и $\angle D=\angle DCM$, поэтому $\angle A+\angle D=210^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Ищем $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$: $\angle A+\angle D=360^{\circ}-95^{\circ}-115^{\circ}=150^{\circ}$. Из уравнения $210^{\circ}-2t=150^{\circ}$ находим $t=30^{\circ}$.

Шаг 4. Угол $BMC$. $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 30^{\circ}=120^{\circ}$.

Шаг 5. Хорда $BC$ через радиус. Опустим из $M$ перпендикуляр на $BC$ — в равнобедренном треугольнике он является и биссектрисой, и медианой. Он делит угол $120^{\circ}$ пополам и отсекает половину стороны $BC$, поэтому $\dfrac{BC}{2}=R\sin 60^{\circ}=R\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$, то есть $BC=R\sqrt3$.

Шаг 6. Доводим до числа. $19=R\sqrt3$, откуда $R=\dfrac{19}{\sqrt3}=\dfrac{19\sqrt3}{3}$, и

$AD=2R=\dfrac{38\sqrt3}{3}\approx 21,94$.