ID: 00038887
Источник: ФИПИ
Что скрыто в условии. Раз середина $M$ стороны $AD$ равноудалена от всех вершин, то $MA=MB=MC=MD=R$ и все вершины лежат на окружности с центром $M$. Сторона $AD$ проходит через центр, значит $AD$ — диаметр этой окружности и $AD=2R$.
Шаг 1. Проводим радиусы $MB$ и $MC$. Получаем равнобедренные треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Пусть углы при основании треугольника $BMC$ равны: $\angle MBC=\angle MCB=t$.
Шаг 2. Выражаем углы через $t$. $\angle ABM=\angle B-t=126^{\circ}-t$, $\angle DCM=\angle C-t=99^{\circ}-t$. Из равнобедренности $\angle A=\angle ABM$, $\angle D=\angle DCM$, поэтому $\angle A+\angle D=225^{\circ}-2t$.
Шаг 3. Уравнение из суммы углов. В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна $360^{\circ}$: $\angle A+\angle D=360^{\circ}-126^{\circ}-99^{\circ}=135^{\circ}$. Значит, $225^{\circ}-2t=135^{\circ}$ и $t=45^{\circ}$.
Шаг 4. Угол при центре. $\angle BMC=180^{\circ}-2t=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть треугольник $BMC$ прямоугольный и равнобедренный: катеты $MB=MC=R$, гипотенуза $BC=11$.
Шаг 5. Считаем радиус. По теореме Пифагора $2R^{2}=11^{2}=121$, откуда $R^{2}=60,5$ и $R=\dfrac{11}{\sqrt2}=\dfrac{11\sqrt2}{2}$.
Шаг 6. Диаметр. $AD=2R=11\sqrt2\approx 15,56$.