Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038886

Расшифровываем условие. Точка $M$ — середина стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R$. Значит, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $M$, а сторона $AD$ проходит через центр и потому является диаметром: $AD=2R$.

Шаг 1. Строим радиусы. Проведём $MB$ и $MC$. Треугольники $AMB$, $BMC$, $CMD$ равнобедренные, так как их боковые стороны — радиусы. Пусть $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Разбиваем данные углы. Отрезок $MB$ делит угол $B=112^{\circ}$, поэтому $\angle ABM=112^{\circ}-t$; аналогично $\angle DCM=113^{\circ}-t$. В равнобедренном треугольнике $AMB$ углы при основании равны: $\angle A=\angle ABM$. Так же $\angle D=\angle DCM$. Тогда $\angle A+\angle D=(112^{\circ}-t)+(113^{\circ}-t)=225^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Находим $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника $360^{\circ}$, значит $\angle A+\angle D=360^{\circ}-112^{\circ}-113^{\circ}=135^{\circ}$. Из уравнения $225^{\circ}-2t=135^{\circ}$ получаем $t=45^{\circ}$.

Шаг 4. Треугольник $BMC$. $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$: треугольник прямоугольный с катетами $MB=MC=R$ и гипотенузой $BC=10$.

Шаг 5. Теорема Пифагора. $R^{2}+R^{2}=10^{2}$, то есть $2R^{2}=100$, $R^{2}=50$, $R=\sqrt{50}=5\sqrt2$.

Шаг 6. Переходим к $AD$. $AD=2R=10\sqrt2\approx 14,14$.