Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038885

Что означает условие. Точка $M$ — середина стороны $AD$, и $MA=MB=MC=MD$. Значит, все вершины четырёхугольника лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R$, причём $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — диаметр: $AD=2R$.

Шаг 1. Вспомогательное построение. Проведём радиусы $MB$ и $MC$. Появляются равнобедренные треугольники $AMB$ ($MA=MB$), $BMC$ ($MB=MC$) и $CMD$ ($MC=MD$). Обозначим $\angle MBC=\angle MCB=t$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Шаг 2. Разбиваем углы $B$ и $C$. $\angle ABM=\angle B-t=124^{\circ}-t$ и $\angle DCM=\angle C-t=116^{\circ}-t$. Из равнобедренности треугольников $AMB$ и $CMD$: $\angle A=\angle ABM$, $\angle D=\angle DCM$. Тогда

$\angle A+\angle D=(124^{\circ}-t)+(116^{\circ}-t)=240^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Уравнение. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$, поэтому $\angle A+\angle D=360^{\circ}-124^{\circ}-116^{\circ}=120^{\circ}$. Значит, $240^{\circ}-2t=120^{\circ}$, откуда $t=60^{\circ}$.

Шаг 4. Треугольник $BMC$. Оба угла при основании равны $60^{\circ}$, поэтому и третий угол $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 60^{\circ}=60^{\circ}$ — треугольник равносторонний. Следовательно, $R=MB=MC=BC=6$.

Шаг 5. Ответ. $AD=2R=2\cdot 6=12$.